Зад. 1. Приведете в нормален вид изразите:     а) 10 . x^2 -   4 . ({3x}/2 - 2).({3x}/2 + 2) ;    б) (x + 2)^3   -     6(x + 1)^2 .

Решение:

а)  10 . x^2 -   4 . ({3x}/2 - 2).({3x}/2 + 2) = 10x^2   -    4 . ({9x^2}/4 - 2^2) =  =  10x^2      -    {4 . 9x^2}/4 + 4 . 4 =  10x^2    -    9x^2  + 16   =   x^2  + 16 ;

 

б) (x + 2)^3   -     6 . (x + 1)^2   =   x^3 + 3 . x^2 . 2 + 3 . x . 2^2 + 2^3    -    6 . (x^2 + 2x + 1)  =  =  x^3 + 6x^2 + 12x + 8   -    6 . x^2   -  12x  -  6  =   x^3  + 8   -     6  =  x^3 +  2 .

 

Зад. 2. Намерете стойността на израза A =  (x + 1/2) (x  -  1/2)  -   3x . (1   -   x)    при x   =   -   1/4  

Решение:  A =  (x + 1/2) (x  -  1/2)  -   3x . (1   -   x) =  x^2  -    1/4   -   3 . x  + 3 . x^2  =  4 . x^2  -   3 . x   -   1/4  

Заместваме    х     с    -   1/4    и получаваме:

A   =   4 . (   -    1/4)^2    -    3 . (    -    1/4)      -       1/4  =  4 . 1/16     +   3/4     -      1/4   =   1/4   +   2/4    =    3/4    =  0, 75  

 

Зад. 3. При коя стойност на параметъра а многочленът  Q  =   4 . x (x^2  -    3 .  x    +   a)   -    8 . a . x^2 (x    -   4)^2   +   12 (x   -   1) (x^2  + x   +   1)    не съдържа член от трета степен в нормалния си вид?

Решение:

Q  =    4 . x (x^2  -    3 .  x    +   a)   -    8 . a . x^2 (x    -   4)^2   +   12 (x   -   1) (x^2  + x   +   1)  

Q =   4 x^3    -     12 x^2   +  4 a x   -   8 a x^2 ( x^2   -   8 x  +  16)  +  12 ( x^3  -  1)  

Q = 4 x^3    -     12 x^2   +  4 a x    -     8 a x^4   +   64 a x^3    -    12 a x^2   +   12 x^3   -   12  

Q =   -   8 x^4  +   64 a x^3  +  4 x^3  + 12 x^3   -    12 x^2    - 128 a x^2   + 4 a x     -    12

Q =   -   8 x^4  +   ( 64 a   + 16) x^3     -    ( 12  +   128 a) x^2   + 4 a x     -    12

За да не съдържа многочленът Q член от трета степен, трябва коефициентът пред въпросната трета степен да е равен на нула, т.е.  ( 64 a   + 16)  =  0 . Делим двете страни на полученото уравнение на 16 и получаваме:

4 a  +  1  =  0   ;  Прехвърляме единицата от другата страна на равенството с обратен знак :   4 a   =    -     1  . Най-накрая разделяме двете страни на уравнението на 4 и финално получаваме:  a   =    -     1 /4.