by matematika | Sep 9, 2015 | 7 клас, Решени задачи
Зад.1 . В триъгълник АВС лъчът AN пресича страната BC в точка L и AL е ъглополовяща на <BAC. Знае се, че <BCM=115° и <BLN=103° . Намерете мярката на <ABC. Отсечката AL е ъглополовяща на <ВАС, следователно <BAL = <CAL = x и <BAC = 2х. За триъгълника ABC <BCM е външен, затова <BCM = <BAC + <ABC, т.е. 115° = 2х + < ABC. Оттук следва, че < ABC = 115° – 2х (1). За триъгилника ABL <BLN е външен, затова <BLN = <BAL + < ABC, т.е. 103° = х + < ABC. Следователно < ABC =103° – х (2). Приравняваме десните страни на уравнения (1) и (2) и получаваме: 115° – 2х = 103° – х. Опростяваме до 2х – х = 115° – 103° и накрая получаваме, че х =24°. Получената стойност за х заместваме в уравнение (2) и така достигаме до решението на задачата, а именно – < ABC =103° – 24° = 91°. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… Зад. 2. В триъгълник ABC са построени ъглополовящите AN (N∈BC) и BM (M∈AC), които се пресичат в точка L. Ако < ALB : <ALM = 3:1, то определете вида на триъгълника ABC (според ъглите му). Първо отбелязваме по чертежа, че AL и BL са ъглополовящи, т.е. <BAL = <CAL = α и <ABL = <CBL = β. От условието < ALB : <ALM = 3:1 следва, че < ALB = 3х, а <ALM = х, но тези ъгли са съседни и сборът им е 180°. Следоваетелно 3х + х = 180°, откъдето получаваме, че х = 45° = <ALM. <ALM е външен за триъгълника ABL, следователно <ALM = <BAL + <ABL ⇔ 45° = α + β. Сборът на ъглите в триъгълника... 
by matematika | Sep 3, 2015 | 7 клас, Решени задачи
Зад.1. Отсечките CD и PQ са медиани съответно в триъгълниците ABC и MNP. Ако се знае, че AB=MN, BC=NP и CD=PQ, то докажете, че триъгълниците ABC и MNP са еднакви. Доказателство: CD и PQ са медиани ⇒ AD = BD = ½AB и MQ = NQ = ½MN, но AB = MN (по условие) ⇒ AD = BD = MQ = NQ Разглеждаме триъгълниците BDC QNP 1) BD = NQ (доказано) 2) CD = PQ (по усл.) 3) BC = NP (по усл.) ⇒ BCD ≅ QNP ( III-ти признак) ⇒ <ABC = <MNP Разглеждаме триъгълниците ABC и MNP 1) AB = MN (по усл.) 2)<ABC = <MNP (доказано) 3) BC = NP (по усл.) ⇒ ABC ≅ MNP (I-ви признак) …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….. Зад. 2. На чертежа ABC≅B1C1M, <ACB =90º, отсечката CM е медиана и CA=CM. a) Докажете, че триъглникът AMC е равностранен. б) Ако точките C, A и C1 лежат на една права и AB=10см, намерете на колко сантиметра е равна разликата от периметрите на триъгълниците ABC и AC1M. Дадено: ABC≅B1C1M ; <АСВ=90° ; СМ – медиана в АВС ; СА=СМ ; АВ=10см а) Да се докаже: АСМ – равностранен б) Да се намери: разликата от периметрите на триъгълниците АВС и АС1М. а) Доказателство: СМ е медиана в АВС ⇒ т.М -среда на АВ и АМ=ВМ, но АВС е правоъгълен тригълник и АВ е хипотенуза ⇒ СМ=½АВ ⇒АМ=ВМ=СМ, но СА=СМ (по условие) ⇒СМ=АМ=СА ⇒ АСМ – равностранен б) Решение: ВМ=АМ=½АВ (1) но АВ=10 см ⇒ ВМ=АМ=СМ=СА=5 см АВС≅В1С1М – по условие ⇒ СВ=С1М (2) и <СВА=<С1МВ1 (3) от (1), (2) и (3) ⇒ СВМ≅С1МА – по Първи признак за еднакви триъгълници ⇒ СМ=С1А=5... 
by matematika | Sep 2, 2015 | 7 клас, Решени задачи
Зад. 1 Пресметнете стойността на израза за Основна грешка на седмокласниците при решаване на такъв тип задачи е да заместят х с конкретната стойност и да започнат да пресмятат. Това обаче далеч не е правилният метод. Първо трябва да съкратим дробта. Разлагаме полинома в числителя на прости множители. Изнасяме 111 пред скоби. Виждаме, че в скобите остава формула за съкратено умножение и я развиваме: . Сега вече можем да съкратим и получаваме . Заместваме х със 101 и остава само да пресметнем . Зад. 2 Разложете многочлена . Първо групирамe Виждаме, че многочленът в първата скоба образува формула за съкратено умножение и я записваме в краткия й вид, а от втората скоба изваждаме знак минус. Получаваме . Накрая изваждаме повтарящия се едночлен пред скоби и тази задача също вече е решена :... 