by Силвия Табакова | Aug 8, 2017 | 7 клас, Решени задачи
В предишната статия показахме основните методи за разлагане многочлен на едночлени – чрез изнасяне на общ множител, чрез групиране и чрез директно използване на формулите за съкратено умножение. Доста примери разгледахме и е хубаво да затвърдите знанията, защото са важни. Истината обаче е, че подобни умения няма да са ви достатъчни, ако се стремите за оценка Много добър или Отличен. Има и още два начина за разлагане на полиноми – с допълване до точен квадрат и с комбиниране на методите. Прилагат се при по-сложни изрази (многочлени), а тях лесно ще познаете – нямат общи множители или пък са съставени от сбор/разлика на нечетен брой едночлени и групирането е невъзможно. Нека започваме вече с примерите 😉 Пример 1.1 Да се разложи Тук ще използваме метода с допълване до точен квадрат, т.е. . Забелязваме, че , а и точно оттук определяме, че а = 3х , b = 1 (според формулата по-горе). За да бъде довършена формулата ни трябва само , т.е. и ще имаме Забележете, че първите два едночлена на получения израз съвпадат с тези в условието, но накрая имаме ” +1″, а в условието е “-8”. За да не се променя смисъла на дадената задача, и, за да работим правилно, към нашия многочлен трябва да добавим още нещо, за да се получи накрая -8. И тук много ученици изпитват трудности. Лесният начин е да си го представите така : “Колко трябва да добавя към 1, за да стане -8?” Сега вече лесно се вижда, че търсената “добавка” е -9. И нека проверим: – действително до тук сме работили правилно. Само че проверката си е проверка и тя е повече за наше... 
by matematika | Aug 8, 2017 | 7 клас, Решени задачи
Зад.1. Пресметнете : Зад.2. Дадени са изразите А и В. Намерете стойността на израза А.В + 2, при а= – 3, ако: A = и B = Зад.3 а) Пресметнете , ако се знае, че n е цяло число. б) Докажете, че ако n е естествено число, то се дели на 5 Зад. 4. Ако , пресметнете стойността на отношението ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Отговори и решения Зад.1. Отговор: Решение: И още малко помощ 🙂 Важно е тук да си спомним, че независимо каква е стойността в модул, извън него тя е положителна. Ето защо в първия знаменател имаме -5.3, а не .(-3) От 5-ти клас си припомняме преобразуване на смесени числа , а също и привеждане на дроби под общ знаменател: И накрая внимаваме за знаците, не забравяме правилата за пресмятане на цели числа (“минус” по “минус” прави “плюс”). След като имаме предвид тези 3 особености, остава ни само да извършим елементарни преобразувания и отговорът е налице. Зад.2. Решение: Заместваме а с -3 и получаваме: При подобни задачи винаги първо се опростяват отделните изрази, накрая общия, чиято стойност се търси, и едва тогава се пристъпва към заместването. Целта е да се избегнат грешки, защото е по-лесно да се съсредоточи вниманието върху няколко малки полинома, отколкото върху един голям. Зад.3 Решение: а) До тук сме отделили числителя и знаменателя в отделни скоби, разделени със знак : вместо с дробна черта. По никакъв начин не сме променили смисъла или стойността на израза, само сме преобразували степени, така че да ни е по-удобно в последващите преобразувания. Продължаваме като приведем първите две дроби под общ знаменател. Виждаме, че за да се уеднаквят знаменателите, първата дроб трябва да... 
by matematika | Aug 8, 2017 | 7 клас, Решени задачи
Разлагането многочлен на множители е трудна материя за много седмокласници. Учениците с нетърпение очакват края на този раздел от математиката за седми клас, само и само да им се “махне от главата”. Свършваме с формулите за съкратено умножение и с разлагането и забравяме за тях? Да, ама не! Още в следващия раздел по алгебра ще ни се наложи да се сбъскаме с точните квадрати и кубове и с изнасянето на общи множители. И тогава, ако не сме ги научили, какво ще правим? Знаем, че в математиката всичко е навързано (знам, че ви звучи банално, но е така), и без цялостно усвояване на даден раздел няма как да продължим към останалите. Пред нас са два варианта: да се откажем изобщо от математиката, защото няма как да продължим напред, или пък да се мъчим да съчетаем едновременно научаване на стария материал и разбиране и усвояване на новия. Както сами се досещате, първият вариант е съвсем нереалистичен – математиката присъства в програмата до края на средното образование. Вторият пък е изключително труден и даже граничи с невъзможност. Ето защо нека се постараем въобще да не стигаме до тук и искате или не, постарайте се да научите формулите за съкратено умножение и методите за разлагане. А аз ще ви помагам, както и сега с тази статия. Нека сега разгледаме и основните методи за разлагане на полиноми. Първият начин е чрез изнасяне на общ множител. Той е най-простият. В общи линии се процедира така: оглеждаме полинома, преценяваме кой множител се повтаря и го изнасяме пред скоби. Ето как става: Пример 1.1. Виждаме, че и двата едночлена съдържат в себе си 5c и точно това ще... 
by matematika | Jul 21, 2016 | 7 клас, Решени задачи
Привет, седмокласници! Очаква ви много интересна и напрегната учебна година. Много интензивно ще бъде обучението ви, а накрая и тестовете за НВО. Да, бих казала, че е трудно и отговорно да си в 7кл. Особено за тези от вас, които са решили да кандидатстват в елитни гимназии. Много учене ще падне, за да се справите блестящо на матурите в 7кл. В началото обаче започваме с нещо по-леко – входното ниво. Представям си как се мръщите сега и недоволствате от първото контролно. Ако знаете обаче какво ви чака по-натам, тези задачи ще ви се сторят песен. А и помислете – целта на входното не е толкова да се изпитваме, а да видим кой какво помни, къде са пропуските ви. Всъщност е полезно за вас, защото ще разберете къде материалът ви “куца” и ще можете да си обърнете внимание точно там, за да запълните празнотите. Защото, каквото и да си говорим, няма как да сте отлични математици в 7кл, ако имате пропуски от предишни години. Като заговорихме за проверка на знанията, хубаво за вас ще е да се опитате да решите задачите по-долу, а и подобни такива, още през лятото. Не чакайте да дойдат дните преди входното. Това се отнася особено за тези от вас, които ще кандидатстват. Защо ли? Ами защото, ако по-рано откриете кои са слабите ви места, ще имате достатъчно време да работите върху тях, а когато започнете учебната година ще можете да се фокусирате само върху новите знания. Ще забележите, че в задачите по-долу съм пропуснала материала за ръбести и валчести тела. Умишлено е – в 7кл по математика няма да се занимаваме отново с тях, ще... 
by matematika | Oct 9, 2015 | 7 клас, Решени задачи
Зад. 1. Приведете в нормален вид изразите: а) ; б) . Решение: а) ; б) . Зад. 2. Намерете стойността на израза при Решение: Заместваме х с и получаваме: Зад. 3. При коя стойност на параметъра а многочленът не съдържа член от трета степен в нормалния си вид? Решение: За да не съдържа многочленът Q член от трета степен, трябва коефициентът пред въпросната трета степен да е равен на нула, т.е. . Делим двете страни на полученото уравнение на 16 и получаваме: ; Прехвърляме единицата от другата страна на равенството с обратен знак : . Най-накрая разделяме двете страни на уравнението на 4 и финално получаваме:... 
by matematika | Sep 9, 2015 | 7 клас, Решени задачи
Даден е триъгълник АВС. Симетралата на страната АВ пресича страната ВС в точка N и продължението на страната АС в точка P, така че C е между A и P. Ако <APN е 20° и <PAN : <NAB = 4 : 3, намерете ъглите на триъгълниците ABC и ANP. Знаем, че <PAN : NAB = 4 : 3 и оттук следва, че <PAN = 4х, а <NAB = 3х. Тогава целият <МАР става 7х. РМ е симетрала на АВ, следователно РМ⊥ АВ и <АМР = 90°. Изписваме теоремата за сбор на ъгли в триъгълник /за триъгълника АМР/, а именно: <МАР + <АМР + <АРМ = 180° и заместваме: 7х + 90° + 20° = 180°, откъдето следва, че х =10°. Лесно пресмятаме, че <PAN=4x = 40° и <NAB=3x = 30°. В триъгълника ANP вече знаем два от ъглите и чрез теоремата за сбор на ъгли в триъгълник бързо намираме третия. <APN + <PAN + <ANP = 180° ⇔ 20° + 40° + <ANP = 180° ⇔ 60° + <ANP = 180° ⇔ <ANP = 180° – 60° = 120°. За да намерим ъглите и в тръгълника АВС, ще използваме, че точка N лежи на симетралата на AB. От това, според теоремите за симетрала следва, че AN = BN. Оттук пък разбираме, че триъгълникът ABN е равнобедрен и <BAN = <NAB = 30°. Сега да разгледаме триъгълника ABC – знаем вече два от ъглите му ( <BAC = 70° и <ABC = 30°) и като извадим сбора им от 180°, ще получим третия <АСВ. Записваме така: <АСВ = 180° – (<ВАС + < АВС) = 180° – (70° + 30°) = 180° – 100° =... 