Разлагането многочлен на множители е трудна материя formuli-i-razlagane-7kl за много седмокласници. Учениците с нетърпение очакват края на този раздел от математиката за седми клас, само и само да им се “махне от главата”. Свършваме с формулите за съкратено умножение и с разлагането и забравяме за тях? Да, ама не! Още в следващия раздел по алгебра ще ни се наложи да се сбъскаме с точните квадрати и кубове и с изнасянето на общи множители. И тогава, ако не сме ги научили, какво ще правим? Знаем, че в математиката всичко е навързано (знам, че ви звучи банално, но е така), и без цялостно усвояване на даден раздел няма как да продължим към останалите. Пред нас са два варианта: да се откажем изобщо от математиката, защото няма как да продължим напред, или пък да се мъчим да съчетаем едновременно научаване на стария материал и разбиране и усвояване на новия. Както сами се досещате, първият вариант е съвсем нереалистичен – математиката присъства в програмата до края на средното образование. Вторият пък е изключително труден и даже граничи с невъзможност. Ето защо нека се постараем въобще да не стигаме до тук и искате или не, постарайте се да научите формулите за съкратено умножение и методите за разлагане. А аз ще ви помагам, както и сега с тази статия.

Нека сега разгледаме и основните методи за разлагане на полиноми.
Първият начин е чрез изнасяне на общ множител. Той е най-простият. В общи линии се процедира така: оглеждаме полинома, преценяваме кой множител се повтаря и го изнасяме пред скоби. Ето как става:

Пример 1.1.
5ac - 10bc Виждаме, че и двата едночлена съдържат в себе си 5c и точно това ще изнесем. Ще решим примера по възможно най-подробния начин, за да го разберете добре.
5ac - 10bc = 5c(5ac:5c - 10bc:5c) = 5c(a -2b). Готови сме. Имайте предвид, че частта с делението НЕ се пише, тя се пресмята наум.

Пример 1.2.
3a(a-1) + 8(a-1) - (a-1)^2  Тук на трите места се съдържа (a-1), изнасяме именно тази скоба:

3a(a-1) + 8(a-1) - (a-1)^2 = (a-1)(3a +8 - (a-1))  . Важно е да обърнете внимание на 2 особености! Първата е намаляване степента на(a-1)^2  с толкова, колкото сме изнесли (от 2-ра степен изнесохме една и остана първа, ако беше например осма и изнесем шеста, щеше да остане втора). Другата особеност е знакът минус пред (a-1)^2  – той остава и променя знаците след него, именно затова поставяме скоби пред него. Разбира се, с напредване в решаването на задачи, скоби може и да не се слагат и смяната на знаците да се прави наум. И така, продължаваме с преобразуванията, тъй като въпреки, че сме се досетили кой е общия член и сме го изнесли пред скоби, това не означава, че задачата е доведена до край. Предстои да разкрием вътрешните скоби след минуса, затова външни скоби вече не са ни необходими. След това остават само елементарни преобразувания на база събиране и изваждане във втората скоба.

3a(a-1) + 8(a-1) - (a-1)^2 = (a-1)(3a +8 - (a-1)) = (a-1)(3a + 8 -a + 1) = (a-1)(2a+9)

Нека продължим с припомняне основните формули за съкратено умножение:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3a b^2 + b^3      (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2   
 (a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3         (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2     
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)                a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

Решени задачи за 7кл математика
Не се чудете защо отново ви занимавам с въпросните формули, които никак не ви се нравят. Просто е – вторият метод за разлагане на полиноми е именно чез тях. Ето и няколко примера:

Пример 2.1.
49 m^2 x^4  -  n^2 y^4    Нека за начало представим този двучлен като разлика на два едночлена от втора степен, т.е. като    (7. m . x^2)^2  -  (n . y^2)^2. Вече виждаме, че това е формулата за сбор по разлика и я прилагаме
49 m^2 x^4  -  n^2 y^4 = (7. m . x^2)^2  -  (n . y^2)^2 = (7. m . x^2 - n . y^2 )(7. m . x^2 + n . y^2). И ето – нашият полином е вече разложен. Нищо сложно, нали? 🙂

За да упражним, показваме и още един пример.
Пример 2.2.
4/9 x^2 - 1 = (2/3 x)^2 - 1^2 = (2/3 x - 1)(2/3 x +1)    Методът е абсолютно същият като горния. А знанията си може да затвърдите като разложите също и
49/64 b^2 -  1/9          ;        (2x+3)^2 -  4 x^2          ;         z^8 - c^8

Примери 2.3
m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2                             ;        a^3 - 3 a^2 + 3a - 1 = (a - 1)^3 
8 - 27 x^3 = (2 - 3x)(4 + 6x + 9 x^2)                   ;       100 a^4 +220  a^2 y^2 + 121 y^4 = (10 a^2 + 11 y^2)^2
Вероятно вече сте забелязали, че подобни задачи се решават с непосредствено прилагане на формулите за съкратено умножение. Ето защо е много важно да ги научите перфектно и в правия и в обратния им ред – за да можете да ги разпознавате в полиномите.

Пристъпваме към третия метод за разлагане на полиноми – този с групиране.

Пример 3.1.
xy + 7 + y + 7x  . Виждаме, че това не е формула за съкратено умножение. Няма и общ множител, който да се повтаря навсякъде. Забелязваме обаче, че първият и третият едночлен имат общ делител у, а вторият и четвъртият се делят на 7. Нека групираме и след това да изнесем общите множители:
xy + 7 + y + 7x = (xy + y) + (7 + 7x) = y(x + 1) + 7(1 + x). Целта на групирането и изнасянето на общ множител от всяка група е в крайна сметка да получим еднакви скоби, които отново да изнесем и с това да завършим задачата. В този случай, тъй като (х+1) и (1+х) са еднакви на практика изрази, следователно сме работили правилно и продължаваме:
 xy + 7 + y + 7x = (xy + y) + (7 + 7x) = y(x + 1) + 7(1 + x) =(x + 1)(y + 7)

Пример 3.2.
 15ab + 2 - 3a - 10b = (15ab - 3a) + (2 - 10b) = 3a(5b - 1) + 2(1 - 5b) = 3a(5b - 1) - (-2(1 - 5b)) = 3a(5b - 1) - (5b - 1)  Дотук действахме както в горния пример – определихме кои едночлени имат общ делител и го изнесохме пред скоби. След второто “=” стигнахме обаче до особеност – скобите не са еднакви, втората е противоположна по знак на първата. За да продължим напред трябва да изнесем минус пред скоби. Обърнете внимание на двата минуса един до друг (пред и след скобата) – ако ги умножим, ще получим знак +, както е в израза до сега, следователно не сме променили задачата и сме на прав път. Не умножаваме обаче минусите – първият запазваме, а втория внасяме в скобата, за да промени знаците и така вече двете скоби се уеднаквиха.  И така, без повече да се бавим, нека видим как би изглеждал пълният коректен запис на задачата:
 15ab + 2 - 3a - 10b = (15ab - 3a) + (2 - 10b) = 3a(5b - 1) + 2(1 - 5b) = 3a(5b - 1) - 2(5b - 1) = (5b - 1)(3a - 2)

Примери 3.3.

3x^2 + 6x + 4x + 8 = (3x^2 + 6x) + (4x + 8) = 3x(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 2)(3x +4) 

2x^2 + 3x + 8x + 12 = (2x^2 + 8x) + (3x + 12) = 2x(x + 4) + 3(x + 4) = (x + 4)(2x +3) 

2x^2 + 3x + 8x + 12 = (2x^2 + 3x) + (8x + 12) = x(2x + 3) + 4(2x + 3) =(2x + 3)(x + 4) = (x + 4)(2x +3) 

Забелязахте ли нещо при последните два реда? 🙂 Действително това е един и същи пример, решен по два начина, с 2 различни групирания. Много задачи в раздела за разлагане на полиноми предлагат повече от едно решение. И не е важно кое от тях ще изберете, стига накрая да получите правилния резултат.

3z^2 - 3z + z - 1 = (3z^2 - 3z) + (z - 1) = 3z(z - 1) + 1(z -1) = (z - 1)(3z + 1)   Лесни задачи математика 7 класПоследният пример вероятно ви изглежда “бебешки” 🙂 И да, такъв е, но с важна подробност – забележете единицата(обикновено не се пише) пред втората скоба – тя е множителят й и не бива да се пропуска. Много ученици я забравят и оставят резултат (z - 1)3z или други подобни вариации, което е МНОГО ГОЛЯМА грешка. Не подценявайте лесните на пръв поглед задачи!