Зад.1 . В триъгълник АВС лъчът AN пресича страната BC в точка L и AL е ъглополовяща на <BAC. Знае се, че <BCM=115° и <BLN=103° . Намерете мярката на <ABC.
Отсечката AL е ъглополовяща на <ВАС, следователно <BAL = <CAL = x и <BAC = 2х.
За триъгълника ABC <BCM е външен, затова <BCM = <BAC + <ABC, т.е. 115° = 2х + < ABC.
Оттук следва, че < ABC = 115° – 2х (1).
За триъгилника ABL <BLN е външен, затова <BLN = <BAL + < ABC, т.е. 103° = х + < ABC.
Следователно < ABC =103° – х (2).
Приравняваме десните страни на уравнения (1) и (2) и получаваме:
115° – 2х = 103° – х. Опростяваме до 2х – х = 115° – 103° и накрая получаваме, че х =24°. Получената стойност за х заместваме в уравнение (2) и така достигаме до решението на задачата, а именно – < ABC =103° – 24° = 91°.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Зад. 2. В триъгълник ABC са построени ъглополовящите AN (N∈BC) и BM (M∈AC), които се пресичат в точка L. Ако < ALB : <ALM = 3:1, то определете вида на триъгълника ABC (според ъглите му).
Първо отбелязваме по чертежа, че AL и BL са ъглополовящи, т.е. <BAL = <CAL = α и <ABL = <CBL = β.
От условието < ALB : <ALM = 3:1 следва, че < ALB = 3х, а <ALM = х, но тези ъгли са съседни и сборът им е 180°. Следоваетелно 3х + х = 180°, откъдето получаваме, че х = 45° = <ALM.
<ALM е външен за триъгълника ABL, следователно <ALM = <BAL + <ABL ⇔ 45° = α + β.
Сборът на ъглите в триъгълника АВС е: <BAC + <ABC + <ACB = 180° и <ACB = 180° – (<ABC + <BAC). Заместваме с α и β и получаваме <АСВ = 180° – (2α + 2β) = 180° – 2(α +β) = 180° – 2.45° = 90°. Оказва се, че <АСВ е прав, следователно триъгълникът АВС е правоъгълен.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Зад. 3. В правоъгълния триъгълник АВС (<АСВ = 90°) BL е ъглополовяща и <ABL = 20°. Да се намери мярката на <ALB.
BL е ъглополовяща ⇒
<ABL = <CBL = 20°
< ALB е външен за триъгълника LBC ⇒
<ALB = <LCB + <CBL
<ALB = 90° + 20° = 110°