Зад. 1. Единият катет на правоъгълен триъгълник е с дължина 8см, а лицето му е 32 кв. см. Да се провери дали този триъгълник е равнобедрен.
Решение: Нека АС и ВС са катетите на дадения триъгълник и АС = 8см. Ще използваме формулата за лице на правоъгълен триъгълник, а именно : S = 0,5 . a . b. От чертежа виждаме, че страната a е BC, а b е AC. Заместваме с данните във формулата и получаваме:
32 = 0,5 . а . 8
32 = 4 . а
а = 32:4 = 8 см. Получената стойност /8см/ се отнася за страната BC. Виждаме, че AC = BC = 8см, следователно триъгълникът е равнобедрен.
————————————————————————————————————————————————————————-
Зад. 2. Лицето на правоъгълен триъгълник е петинка от лицето на квадрат с периметър 20 дм. Намерете дължината на катета а, ако катетът b = 5 дм.
Решение: Първата ни работа е да намерим лицето на квадрата, за да намерим и площта на триъгълника. За целта ни е необходима страната на квадрата, която ще намерим от формулата за периметър P = 4 . a ; заместваме и получаваме:
20 = 4 . а => а = 20:4 = 5 дм. С така получената дължина на страната на квадрата ще намерим лицето му чрез формулата S = a.a, т.е. S = 5 . 5 = 25 кв. дм.
От условието знаем, че лицето на триъгълника е петинка от това на квадрата, затова записваме SΔ = S : 5 = 25 : 5 = 5 кв. дм. Вече сме изчислили площта на триъгълника, а от условието знаем дължината на катета b. Заместваме тези данни във формулата за лице на правоъгълен триъгълник:
S = 0,5 . a . b
5 = 0,5 . a . 5
5 = 2,5 . a => a = 2 дм. Така намерихме дължината на катет a и с това задачата е решена.
————————————————————————————————————————————————————————-
Зад. 3. По данните от чертежа намерете дължината на височината към страната BC.
Решение: Височината към BC в триъгълника АВС е ha, начертана e с червен пунктир. Mожем дa я намерим като преобразуваме формулата за лице на триъгълник S = (a . ha) : 2 до формулата за дължина на височина – ha = (2 . S) : a . За целта обаче ни е необходима стойността на площта S и за нея ще използваме един интересен подход.
Тъй като виждаме, че имаме стойностите на разстоянията от т.М до страните АС и ВС, начертаваме отсечката СМ (синя линия). Сега вече въпросните разстояния (3 см и 4 см) са височини съответно в триъгълниците АМС и ВМС. След като намерим лицата на тези два триъгълника и ги съберем, ще получим лицето на целия триъгълник АВС. Започваме да пресмятаме:
За триъгълника AMC имаме страната АС = 10 см и височината й 3 см, следователно S1=0,5.10.3=5.3=15 кв. см.
За триъгълника BMC имаме страната ВС = 6 см и височината й 4 см, следователно S2 = 0,5.6.4=3.4 = 12 кв. см.
След тези две изчисления вече можем да намерим лицето на целия триъгълник АВС, т.е. S = S1 + S2 = 15 + 12 = 27 кв. см. Сега вече сме готови да пресметнем дължината на височината към страната ВС по написаната по-горе формула ha = (2 . S) : a. Заместваме S с току-що получената стойност 27 кв. см, а дължината на страната а взимаме от условието – 6 см. Получаваме: ha = (2.27) :6 = 54 : 6 = 9 см. Търсената в задачата височина към страната ВС вече е пресметната.
————————————————————————————————————————————————————————
Зад. 4. Върху страните AB BC CD AD на правоъгълника ABCD са взети точки съответно Q, N, R и M, така че AD и BC са успоредни на QR, а AB и CD са успоредни на MN. Знае се, че MP = 6 см, NP = 2 см, PR = 1 см и QP = 4 см. Да се пресметнат лицата на триъгълниците ABP, BCP, CDP, DAP и лицето на правоъгълника ABCD .
Решение: От условието разбираме, че правоъгълникът ABCD е разделен на още четири правоъгълника, следователно MP = DR = AQ = 6 см, PN = CR = BQ = 2 см, QP = AM = BN = 4 см и PR = MD = CN = 1 см. От така получените стойности на всички отсечки лесно пресмятаме, че AB = CD = AQ + BQ = 6 + 2 = 8 см. Аналогично AD = BC = AM + MD = 4 + 1 = 5 см.
Вече имаме всичко необходимо да пресметнем лицето на ABCD по формулата S = a . b = 8 . 5 = 40 кв. см.
За лицето на триъгълника ABP ще използваме страната AB и височината към нея PQ, заместваме стойностите във формулата за лице на триъгълник, т.е : S = 0, 5 . 8 . 4 = 4 . 4 = 16 кв. см.
По аналогичен начин се намират лицата и на останалите триъгълници.