Даден е триъгълник АВС. Симетралата на страната АВ пресича страната ВС в точка N и продължението на страната АС в точка P, така че C е между A и P. Ако <APN е 20° и <PAN : <NAB = 4 : 3, намерете ъглите на триъгълниците ABC и ANP.
Знаем, че <PAN : NAB = 4 : 3 и оттук следва, че <PAN = 4х, а <NAB = 3х. Тогава целият <МАР става 7х.
РМ е симетрала на АВ, следователно РМ⊥ АВ
и <АМР = 90°.
Изписваме теоремата за сбор на ъгли в триъгълник /за триъгълника АМР/, а именно:
<МАР + <АМР + <АРМ = 180° и заместваме:
7х + 90° + 20° = 180°, откъдето следва, че х =10°.
Лесно пресмятаме, че
<PAN=4x = 40° и <NAB=3x = 30°.
В триъгълника ANP вече знаем два от ъглите и чрез теоремата за сбор на ъгли в триъгълник бързо намираме третия.
<APN + <PAN + <ANP = 180° ⇔
20° + 40° + <ANP = 180° ⇔ 60° + <ANP = 180° ⇔ <ANP = 180° – 60° = 120°.
За да намерим ъглите и в тръгълника АВС, ще използваме, че точка N лежи на симетралата на AB. От това, според теоремите за симетрала следва, че AN = BN. Оттук пък разбираме, че триъгълникът ABN е равнобедрен и
<BAN = <NAB = 30°.
Сега да разгледаме триъгълника ABC – знаем вече два от ъглите му ( <BAC = 70° и <ABC = 30°) и като извадим сбора им от 180°, ще получим третия <АСВ. Записваме така:
<АСВ = 180° – (<ВАС + < АВС) = 180° – (70° + 30°) = 180° – 100° = 80°.
Готови сме 🙂 Така трудната, на пръв поглед, задача вече е решена!