Разлагане на полиноми за отличници – 7 клас

В предишната статия показахме основните методи за разлагане многочлен на едночлени – чрез изнасяне на общ множител, чрез групиране и чрез директно използване на формулите за съкратено умножение. Доста примери разгледахме и е хубаво да затвърдите знанията, защото са важни. Истината обаче е, че подобни умения няма да са ви достатъчни, ако се стремите за оценка Много добър или Отличен.
Има и още два начина за разлагане на полиноми – с допълване до точен квадрат и  с комбиниране на методите. Прилагат се при по-сложни изрази (многочлени), а тях лесно ще познаете – нямат общи множители или пък са съставени от сбор/разлика на нечетен брой едночлени и групирането е невъзможно.

Нека започваме вече с примерите 😉 

Пример 1.1

Да се разложи 
Тук ще използваме метода с допълване до точен квадрат, т.е. .
Забелязваме, че , а и точно оттук определяме, че а = 3х , b = 1 (според формулата по-горе). За да бъде довършена формулата ни трябва само  , т.е. и ще имаме 
Забележете, че първите два едночлена на получения израз съвпадат с тези в условието, но накрая имаме ” +1″, а в условието е “-8”.  За да не се променя смисъла на дадената задача, и, за да работим правилно, към нашия многочлен трябва да добавим още нещо, за да се получи накрая -8. И тук много ученици изпитват трудности. Лесният начин е да си го представите така : “Колко трябва да добавя към 1, за да стане -8?”
Сега вече лесно се вижда, че търсената “добавка” е -9. И нека проверим:
– действително до тук сме работили правилно. Само че проверката си е проверка и тя е повече за наше успокоение (не се пише в решенията обикновено). Няма и смисъл да събираме 1 и -9, те точно така поотделно ни трябват. Вижте защо:
Сетихте ли се, че това е формулата за сбор по разлика? Прилагаме я и разлагането е готово!

—————————————————————————————————————————————————–
Както името подсказва, в последния начин за разлагане на полиноми ще използваме комбинация от поне два от изучените вече методи.  Няма точно определение кога кои правила да използвате, именно затова е необходимо да знаете всички (не само теоретично, а и да ги откривате в задачите), за да не губите време в излишно лутане.

Пример 2.1. Да се разложат следните полиноми:
а)  И от самолет се вижда, че имаме общ множител (х + у). Да го изнесем обаче е твърде недостатъчно, ще трябва да продължим с разлагането (в случая с прилагане на формула за съкр. умножение)

————————————————————————————————————————————————————–

Задачи, които се решават след разлагане на полиноми

Пример 3.1
а) За многочлена  определете какви числени стойности може да приема: положителни, отрицателни и/или нула.
б) определете най-малката стойност, която може да приеме полиномът М

Решение:
Преди да определим каквито и да било стойности, първо трябва да тръгнем по метода на разлагането  като задача 1.1. . Тези преобразувания ще напишем не толкова подробно, а както би трябвало да изглежда на контролно, например.
. Стигаме до тук (пълно разлагане е невъзможно) и започваме да разсъждаваме.

1) Знаем, че всяко число (израз) на втора степен е положително или нула! Следователно изразът  също приема положителни стойности или нула.
2) Към положително число или нула ако добавим друго положиелно число, то крайният резултат няма как да е по-различен от положителна стойност! В този ред на мисли вече сме наясно, че нашият полином М може да бъде само положителен (защото формулата на втора степен е положителна и към нея се добавя 1).

б) Вероятно сте се досетили от разсъжденията в а) – уточнихме, че  може да бъде положително или нула и понеже търсим най-малката стойност, а всяка положителна стойност е по-голяма от нула, то се “вкопчваме” в нулата. Примаме, че скобата е със стойност точно нула. Към нея обаче трябва да добавим 1, за да сме коректни към условието и преобразуванията ни. И така 0 + 1 = 1. Т.е. търсената най-малка стойност на многочлена М е 1.

Пример 3.2. 
Да се докаже, че числовият израз  се дели на .
Пресмятането на големи числа на степен никога не е добра идея, да не говорим колко абсурдно е да смятаме 52 на 9та , затова изобщо и не започвайте така. Задачата въщност е елементарна. Изисква се само елементарно разлагане.
Решение:
Готово! Щом имаме умножение по 51, значи напълно възможно е и делението със същото число.

Пример 3.3.
Да се пресметне стойността на израза .
Единственото по-гадно от това да се смята голямо число на степен е пресмятането на дроб, повдигната на степен. За щастие не ни се и налага (не се подвеждайте по условието). Ние пак ще дадем конкретен числов отговор, но без да се тормозим излишно за получаването му. Просто ще използваме формула за съкратено умножение – вече би трябвало да сте се досетили коя е, независимо, че елементите й са разместени.

. Лесно, нали!