Зад.1. Отсечките CD и PQ са медиани съответно в триъгълниците ABC и MNP. Ако се знае, че AB=MN, BC=NP и CD=PQ, то докажете, че триъгълниците ABC и MNP са еднакви.
Доказателство:
CD и PQ са медиани ⇒ AD = BD = ½AB и MQ = NQ = ½MN, но AB = MN (по условие) ⇒ AD = BD = MQ = NQ
Разглеждаме триъгълниците BDC QNP
1) BD = NQ (доказано)
2) CD = PQ (по усл.)
3) BC = NP (по усл.)
⇒ BCD ≅ QNP ( III-ти признак) ⇒ <ABC = <MNP
Разглеждаме триъгълниците ABC и MNP
1) AB = MN (по усл.)
2)<ABC = <MNP (доказано)
3) BC = NP (по усл.) ⇒ ABC ≅ MNP (I-ви признак)
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Зад. 2. На чертежа ABC≅B1C1M, <ACB =90º, отсечката CM е медиана и CA=CM.
a) Докажете, че триъглникът AMC е равностранен.
б) Ако точките C, A и C1 лежат на една права и AB=10см, намерете на колко сантиметра е равна разликата от периметрите на триъгълниците ABC и AC1M.
Дадено: ABC≅B1C1M ; <АСВ=90° ; СМ – медиана в АВС ; СА=СМ ; АВ=10см
а) Да се докаже: АСМ – равностранен
б) Да се намери: разликата от периметрите на триъгълниците АВС и АС1М.
а) Доказателство:
СМ е медиана в АВС ⇒ т.М -среда на АВ и АМ=ВМ,
но АВС е правоъгълен тригълник и АВ е хипотенуза ⇒
СМ=½АВ ⇒АМ=ВМ=СМ, но СА=СМ (по условие) ⇒СМ=АМ=СА ⇒ АСМ – равностранен
б) Решение:
ВМ=АМ=½АВ (1) но АВ=10 см ⇒ ВМ=АМ=СМ=СА=5 см
АВС≅В1С1М – по условие ⇒ СВ=С1М (2) и <СВА=<С1МВ1 (3)
от (1), (2) и (3) ⇒ СВМ≅С1МА – по Първи признак за еднакви триъгълници ⇒ СМ=С1А=5 см.
Изразяваме периметрите на двата търсени триъгълника:
Р на АВС = АВ + ВС + АС = 10см + ВС + 5 см = 15 см + ВС.
Р на С1МА=С1М + С1А + АМ = С1М + 5 см + 5 см = 10 см + С1М.
Изписваме разликата в периметрите: Р АВС – Р С1МА = 15 см + ВС – 10 см – С1М = 5 см +ВС – С1М.
От еднаквостта на триъгълниците АВС и В1С1М обаче имаме, че ВС=С1М , следователно описаната по-горе разлика е равна само на 5 см.
Забележка: На чертежа са отбелязани градусните мярки на почти всички ъгли. Защо? Помислете как са получени стойностите и можем ли да решим задачата като използваме само тях.